| 1. | Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. |
| 2. | Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7 |
| 3. | Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку. |
| 4. | Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз. |
| 5. | Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. |
Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, … Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
| Р(А) = Р(В1) . РВ1(А) + Р(В2) . РВ2(А) + … + Р(Вn) . РВn(А) | — формула |
| полной вероятности |
Примеры:
1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение
Обозначим: А – извлечен белый шар
В1 — белых шаров первоначально не было
В2– первоначально был один белый шар
В3 –первоначально было два белых шара
Все три гипотезы равновероятны.. сумма вероятностей гипотез равна единице. Вероятность каждой гипотезы равна:
Условная вероятность извлечения белого шара
| Первоначальные условия | Условная вероятность |
| Белых шаров не было | РВ1(А) = 1/3 |
| Первоначально был один белый шар | РВ2(А) = 2/3 |
| Первоначально было два белых шара | РВ3(А) = 3/3=1 |
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:
= 1/3 . 1/3 + 1/3 . 2/3 + 1/3 . 1 = 2/3.
2. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик , относительные доли которых есть : 1 -50% , 2 – 30% и 3 – 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет : 1 – 2% , 2 – 3% и 3 – 5%. Какова вероятность того , что изделие этой продукции , случайно приобретенное в магазине , окажется доброкачественным ( событие А).
Здесь возможны следующие три гипотезы: 
приобретенная вещь выработана соответственно на 1, 2, и 3 фабриках ; очевидно , система этих гипотез полная , причем их вероятности
Соответствующие условные вероятности события А равны
Номер варианта выбирается по следующей формуле
где V— искомый номер варианта (при V=0 выбирается максимальный вариант);
N— общее количество вариантов по контрольной работе;
k— значение двух последних цифр пароля;
div— целочисленное деление.
Рассчитываем номер варианта по формуле [1.1]:
В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них?
5 фотографий из 10 можно выбрать 
способами (число сочетаний из 10 элементов по 5). Поэтому 
. Две фотографии из двух можно выбрать 
, а три ненужных из восьми- 
способами и 
.
Искомая вероятность равна
Ответ: 
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Ответ записать в виде десятичной дроби.
Введём события А- первое устройство работает безотказно, В- второе устройство работает безотказно, 
— первое устройство отказано, 
— второй элемент отказан.
Вероятность безотказной работы двух элементов одновременно
Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет
Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек А, В, С. Если в А книга не обнаружена, он идёт в В. Если в В книги нет, он идёт в С. Найти вероятность того, что студент книгу получит. Ответ записать в виде десятичной дроби.
Введём обозначения: P(A)=0,8, P(B)=0,8, P(C)=0,8. Вероятность того, что книгане обнаружится в библиотеках А, В, и С соответственно 
, 
, 
.
Вероятность того, что студент книгу не получит
искомая вероятность равна
Ключи К1, К2, К3, К4 соединены по указанной схеме. Вероятности, что ключи замкнуты соответственно равны 0,1; 0,2; 0,4; 0,5. При включении в сеть цепь MN оказалась замкнутой.
Найти вероятность того, что при этом ключ К1 был замкнут, а ключ К2 разомкнут.
Для того чтобы была цепь замкнутой необходимо, что ключи К3, К4 были замкнуты по условию
Следовательно, q2=1-P2=1-0,2=0,8 (вероятность того, что ключ был разомкнут).
По теореме умножения вероятностей находим искомую вероятность
Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами $p = 0,2$ (вероятность того, что элемент откажет), $n = 5$ (число испытаний, то есть число элементов), $k$ (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для $n$ элементов отказ произойдет в $k$ элементах): $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^.$$
Получаем
а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти: $$P_5(3)=C_5^3 cdot 0,2^3 cdot 0,8^2=0,0512.$$ б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять): $$P_5(k geq 4)=P_5(4)+P_5(5)=C_5^4 cdot 0,2^4 cdot 0,8^1+C_5^5 cdot 0,2^5 cdot 0,8^0=$$ $$= 5 cdot 0,2^4 cdot 0,8+0,2^5=0,00672.$$ в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события — ни один элемент не откажет): $$P_5(k geq 1)=1-P_5(k
