Устройство содержит два независимо работающих элемента

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂, … В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

Примеры:

1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение

Обозначим: А – извлечен белый шар

В₁ — белых шаров первоначально не было

В₂– первоначально был один белый шар

В₃ –первоначально было два белых шара

Все три гипотезы равновероятны.. сумма вероятностей гипотез равна единице. Вероятность каждой гипотезы равна:

Условная вероятность извлечения белого шара

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

= 1/3 . 1/3 + 1/3 . 2/3 + 1/3 . 1 = 2/3.

2. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик , относительные доли которых есть : 1 -50% , 2 – 30% и 3 – 20%. Для продукции фабрик брак соответственно составляет : 1 – 2% , 2 – 3% и 3 – 5%. Какова вероятность того , что изделие этой продукции , случайно приобретенное в магазине , окажется доброкачественным ( событие А).

Здесь возможны следующие три гипотезы: приобретенная вещь выработана соответственно на 1, 2, и 3 фабриках ; очевидно , система этих гипотез полная , причем их вероятности

Соответствующие условные вероятности события А равны

Номер варианта выбирается по следующей формуле

где V— искомый номер варианта (при V=0 выбирается максимальный вариант);

N— общее количество вариантов по контрольной работе;

k— значение двух последних цифр пароля;

div— целочисленное деление.

Рассчитываем номер варианта по формуле [1.1]:

В конверте 10 фотографий, среди которых две нужные. Извлечено 5 фотографий. Какова вероятность, что нужные две среди них?

5 фотографий из 10 можно выбрать способами (число сочетаний из 10 элементов по 5). Поэтому . Две фотографии из двух можно выбрать , а три ненужных из восьми- способами и .

Искомая вероятность равна

Ответ:

Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности их отказа соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. Ответ записать в виде десятичной дроби.

Введём события А- первое устройство работает безотказно, В- второе устройство работает безотказно, — первое устройство отказано, — второй элемент отказан.

Вероятность безотказной работы двух элементов одновременно

Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет

Нужная студенту книга с вероятностью 0,8 имеется в каждой из трёх библиотек А, В, С. Если в А книга не обнаружена, он идёт в В. Если в В книги нет, он идёт в С. Найти вероятность того, что студент книгу получит. Ответ записать в виде десятичной дроби.

Введём обозначения: P(A)=0,8, P(B)=0,8, P(C)=0,8. Вероятность того, что книгане обнаружится в библиотеках А, В, и С соответственно , , .

Вероятность того, что студент книгу не получит

искомая вероятность равна

Ключи К₁, К₂, К₃, К₄ соединены по указанной схеме. Вероятности, что ключи замкнуты соответственно равны 0,1; 0,2; 0,4; 0,5. При включении в сеть цепь MN оказалась замкнутой.

Найти вероятность того, что при этом ключ К₁ был замкнут, а ключ К₂ разомкнут.

Для того чтобы была цепь замкнутой необходимо, что ключи К₃, К₄ были замкнуты по условию

Следовательно, q₂=1-P₂=1-0,2=0,8 (вероятность того, что ключ был разомкнут).

По теореме умножения вероятностей находим искомую вероятность

Задача 2: Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:
а) три элемента;
б) не менее четырех элементов;
в) хотя бы один элемент.

Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами $p = 0,2$ (вероятность того, что элемент откажет), $n = 5$ (число испытаний, то есть число элементов), $k$ (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для $n$ элементов отказ произойдет в $k$ элементах): $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^.$$

Получаем
а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти: $$P_5(3)=C_5^3 cdot 0,2^3 cdot 0,8^2=0,0512.$$ б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять): $$P_5(k geq 4)=P_5(4)+P_5(5)=C_5^4 cdot 0,2^4 cdot 0,8^1+C_5^5 cdot 0,2^5 cdot 0,8^0=$$ $$= 5 cdot 0,2^4 cdot 0,8+0,2^5=0,00672.$$ в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события — ни один элемент не откажет): $$P_5(k geq 1)=1-P_5(k