Уравнение пучка прямых проходящих через точку

Уравнение пучка прямых проходящих через точку

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке.

Если и — уравнения двух пересекающихся прямых, то уравнение

,

где и β любые числа, не равные нулю одновременно, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных прямых, причем при α=0 получаем уравнение второй прямой, при β=0 получаем уравнение первой прямой.

Пример. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых x-2y+3=0 и 2x+3y-1=0 и точку М1(-1,2).

Решение. Запишем уравнение пучка прямых в виде

(Разделим обе части уравнения на )

Так как искомая прямая проходит через точку М1(-1,2), то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.

Подставив полученное значение λ в уравнение пучка, получим

или x+1=0

Ключевые слова: Угловой коэффициент, уравнение прямой, нормальный вектор, пучок прямых.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11142 — | 8282 — или читать все.

Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравнением первой степени с

двумя неизвестными. Обратно, каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

  1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y = kx + b.

Здесь: k – угловой коэффициентпрямой (тангенс угла α,

который прямая образует с положительным направлением

оси Ох, k = tg α), b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

  1. Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0.

Вектор = <A; B>нормальный вектор прямой (

перпендикулярен прямой).

Частные случая уравнения:

Ах + Ву = 0 (С = 0) – прямая проходит через начало координат;

Ах + С = 0 (В = 0) – прямая параллельна оси Оу;

Ву + С = 0 (А = 0) – прямая параллельна оси Ох;

Ах = 0 (В = С = 0) – прямая совпадает с осью Оу;

Ву = 0 (А = С = 0) – прямая совпадает с осью Ох.

  1. Уравнение прямой в отрезках: = 1.

а и b – длины отрезков (с учетом знаков), отсекаемых прямой на осях Ох и Оу соответственно.

  1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

k = tg α (α – угол, образуемый прямой с осью Ох); (x; у) – координаты данной точки.

5.Уравнение yy = k (xx) называют также уравнением пучка прямых с центром в точке (x; у).

где λ – числовой множитель.

  1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М1(x1; у1) и М2(x2; у2) :

  1. Нормальное уравнение прямой:

где р – длина перпендикуляра, опущенного из начала

координат на прямую, α – угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох.

Общее уравнение прямой можно преобразовать в нормальное уравнение путем умножения на нормирующий множитель ; знак берется противоположным знаку свободного члена С (в общем уравнении прямой).

Читайте также:  Почему нет доступа к сети на телефоне

  1. Уравнение прямой в полярных координатах:

r cos (φα) = p.

Пример 1. Построить прямую, заданную уравнением 2ху – 4 = 0.

1. Для построения прямой достаточно знать координаты двух ее

произвольных точек Полагаем, например, в уравнениии прямой х = 0,

получим у = —имеем одну точку А (0, — 4). Полагая х = 1,

получим у = —вторая точка В (1, — 2). Построим точки А и В

и проведем через них прямую ( рис.) .

2. Задачу можно решить с помощью уравнения прямой в отрезках.

Приведем уравнение к виду (3). Для этого перенесем свободный член ( -4)

в правую часть уравнения и разделим обе его части на 4.

Получаем 2ху = 4, = 1, т.е. + = 1 – уравнение прямой в отрезках. На оси Ох от начала

координат отложим 2 единицы вправо; на оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях, через которую проводим прямую ( рис.).

Задания для самостоятельного решения

1. Записать уравнение прямой у = 2х – 3 в отрезках и построить ее.

2. Определить, при каком значении a прямая (a 2 – a ) х + ( 2 + a ) у – 3 a + 1 = 0

а) параллельна оси Ох; б) проходит через начало координат.

3. Найти k из условия, что прямая у = k х + 2 удалена от начала координат на расстоянии .

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А ( -2, 2 /5 ) и образующей с осью Ох угол, равный arctg3 .

Пример 2. Уравнение прямой 4х – 3у + 12 = 0 представить в различных видах ( с угловым коэффициентом, в отрезнах, в виде нормального уравнения ).

Для получения ур-ния прямой с угловым коэффициентом разрешим заданное уравнение относительно у. Получим: у = 4 /3 х + 4, здесь k = 4 /3 , b = 4.

Для получения ур-ния прямой в отрезках перенесем свободный член С = 12 вправо и разделим обе части ур-ния на -12: Þ х /-3 + у /4 = 1 ( а = –3, b = 4 ).

Задания для самостоятельного решения

1. Записать данное уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и нормальном виде и определить, на каком расстоянии от начала координат оно находится: а) 2х – 3у + 6 = 0, б) х + 2,5 = 0, в) у = х – 1, г) х + 5у = 0.

Пример 3. Написать уравнение прямой , проходящей через точки

а) А ( 0, 2 ) , В ( -3, 7 ) ; б) А ( 2, 1 ) , В ( 4, 1 ) .

Задания для самостоятельного решения

1. Прямая проходит через точки А ( 2, 3 ) и В ( -2, -1 ), пересекает ось Оу в точке С.

Найти координаты точки С.

2. Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки А ( -2, -2 ) и В ( -1, 6 ), и имеющая ординату, равную 22 ?

Читайте также:  Видеорегистратор до 3000 рублей какой лучше

Пример 4. Из пучка прямых, определяемых уравнением у + 3 = k ( x – 2), выделить ту, которая проходит через точку А ( -2, 5 ) .

Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5 + 3 = k (– 2– 2), получим 8 = – 4 k Þ

k = – 2. Следовательно, искомое уравнение прямой есть у + 3 = – 2 ( x – 2) или 2х + у –1 = 0.

Задание для самостоятельного решения

Найти прямую, принадлежащую пучку –4х + 2у + 1 + l ( х – 3у + 2 ) = 0 и проходящую через точку А ( 1, 0 ). Написать ее уравнение.


Задания для самостоятельного решения

1. Найти уравнение прямой:

а) образующей с осью Ох угол p /3 и пересекающей ось Оу в точке ( 0, — 6 );

б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, равный 2;

с) отсекающей на осях координат, отрезки, равные 3 и 4.

Последнее изменение этой страницы: 2016-09-18; Нарушение авторского права страницы

В данной статье мы рассмотрим понятие пучка прямых. Представим уравнение пучка прямых. Приведем примеры нахождения уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку.

Пучком прямых называется множество прямых, проходящих через данную точку P. P называется центром пучка прямых . Две разные прямые в пучке прямых определяют центр пучка прямых.

Найдем уравнение пучка прямых, центром которого служит точка пересечения двух прямых (Рис.1):

A1x+B1y+C1=0 (1)
A2x+B2y+C2=0. (2)

Докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть (1) и (2) уравнения двух прямых, пересекающихся в точке P, а λ1 и λ2 некоторые числа, которые одновременно не равны нулю. Тогда

λ1(A1x+B1y+C1) +λ2(A2x+B2y+C2)=0. (3)

является уравнением прямой, проходящей через точку P. Обратно, любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3), при некотороых числах λ1 и λ2.

Доказательство. Во первых покажем, что уравнение (3) является линейным уравнением (уравнением первого порядка), т.е. уравнением, при котором коэффициент при x или y не равен нулю.

Группируем коэффициенты при x и y:

(λ1A1+λ2A2)x+(λ1B1+λ2B2)y+(λ1C1+λ2C2)=0 (4)
λ1A1+λ2A2=0, λ1B1+λ2B2=0. (5)

Тогда, например при λ1≠0 (по условию теоремы хотя бы один из чисел λ1 и λ2 не равен нулю), получим:

(6)
. (7)

Полученное равенство является условием параллельности прямых, определяемых уравнениями (1) и (2), что противоречит условию теоремы (эти прямые пересекаются и не совпадают). Таким образом хотя бы один из равенств (5) не выполняется, т.е. хотя бы один коэффициент при x и y в уравнении (4) не равен нулю. Отсюда следует, что уравнение (4) является линейным уравнением (уравнением первой степени) и является уравнением некоторой прямой. По условию теоремы, эта прямая проходит через точку P(x, y), которая является пересечением прямых (1) и (2), т.е. выполняются равенства:

Читайте также:  Программа для поднятия фпс в майнкрафте
(8)

Из уравнениий (8) следует, что при любых λ1 и λ2:

λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0,

т.е. уравнение (3) проходит через точку P.

Докажем вторую часть теоремы. Покажем, что любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ1 и λ2.

Возьмем некоторую прямую проходящую через точки P и M’(x’, y’). Покажем, что данная прямая определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ1 и λ2, не равных одновременно нулю.

В первой части доказательства теоремы мы показали, что прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3). Теперь, если эта прямая проходит через еще одну точку M’(x’, y’), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3):

λ1(A1x’+B1y’+C1)+λ2(A2x’+B2y’+C2)=0, (9)

Заметим, что выражения в скобках не могут быть равным нулю одновременно, т.к. это означало бы, что оба уравнения проходят через точки P и M’(x’, y’) и, следовательно, совпадают. Пусть, например, λ1(A1x’+B1y’+C1)≠0. Тогда задав λ2 произвольное число, отличное от нуля, решим (9) относительно λ1:

Пример 1. Пучок прямых задан уравнениями:

2x+3y−1=0 (10)
x−4y+2=0. (11)

Найти уравнение прямой из пучка прямых, проходящий через точку M(−3, 1).

Решение. Уравнение пучка прямых, заданных прямыми (10) и (11) имеет следующий вид:

λ1(2x+3y−1)+λ2(x−4y+2)=0. (12)

Подставим координаты точки M в уравннение (12):

λ1(2·(−3)+3·1−1)+λ2(−3−4·1+2)=0. (13)
λ1(−4))+λ2(−5)=0.
−5(2x+3y−1)+4(x−4y+2)=0. (14)

Упростив уравнение (14), получим уравнение из пучка прямых проходящих через точку M(−3, 1):

−6x−31y+13=0.
−6x−31y+13=0.

Пример 2. Построить уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

Решение. Возьмем две различные точки, не совпадающие с точкой M: M1(2,1), M2(−1,3). Построим уравнение, проходящие через точки M и M1. Нормальный вектор n1 этой прямой должен быть ортогональным вектору , равному разностьям координат точек M и M1: =<2−4, 1−1>=<−2,0>. Т.е. можно взять n1=<0,1>. Тогда уравнение прямой с нормальным вектором n1, проходяще через точку M имеет следующий вид:

0(x−4)+1(y−1)=0
y−1=0. (15)

Построим уравнение проходящее через точки M и M2. =<−1−4, 3−1>=<−5,2>. Возмем в качестве нормального вектора второго уравнения n2=<2, 5>. Тогда второе уравнение имеет слеждующий вид:

2(x−4)+5(y−1)=0
2x+5y−13=0. (16)

Из уравнений (15) и (16) можно записать уравнение пучка прямых с центром M(4,1):

λ1(y−1)+λ2(2x+5y−13)=0.
λ1(y−1)+λ2(2x+5y−13)=0.

Заметим, что взяв другие точки M1 и M2, мы получим уравнение того же пучка прямых, но с другими двумя прямыми.

Ссылка на основную публикацию
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Тело массой м брошено
Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью v 0 =...
Телефоны с ик портом 2018
В большинстве домов можно обнаружить несколько устройств, которые управляются пультом дистанционного управления: телевизор, музыкальный центр, система климат-контроля, камера наблюдения и...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Adblock detector