Корень бесконечной степени из бесконечности

Корень бесконечной степени из бесконечности

В центе большого гаража, больше похожего на ангар, в лужи из грязи и машинного масла, на стуле сидел человек. Руки, ноги, да и всё тело, привязаны к стулу верёвкой, поверх которой, толстым слоем, намотан строительный скотч. Глаза закрыты в беспамятстве, рот заклеен липкой лентой, лишь одна голова, периодически болталась из стороны в сторону, внутри которой разгорались кошмары-сны.

Через немногочисленные щели в ангаре, пробивались лучи солнца, разрезая кромешную тьму, давая понять, что сейчас светлое время суток, возможно утро или даже день. Человек на стуле, постепенно начал приходить в себя. С крыши ангара, прямо под ноги узника, капала вода, раздражая своим дотошным звуком.

Дверь в ангар открылась, свет проник в помещение, распугав тем самым крыс, которые копошились в непосредственной близости от узника. Вошёл человек с ведром воды, и одним движением окатил с ног до головы узника.

— Просыпаемся! – крикнул он. Пустое ведро с грохотом улетело в конец ангара, распугав оставшихся крыс. Через секунду включился свет.

Узник глубоко вздохнул и откашлялся, его светлые кудрявые волосы от воды опустились на лоб, закрывая глаза, помотав головой, чтобы прийти в себя, он наконец-то увидел человека, который, по-видимому, и виноват в его таком положении.

Перед узником стоял человек лет тридцати, с аккуратно уложенными чёрными волосами, гладко выбритым лицом, в дорогом чёрном костюме, в чёрных хорошо начищенных, лакированных туфлях. Человек в чёрном обошёл узника вокруг стула, содрал липкую ленту с его рта и спросил:

— И так!…Как спалось?

— У тебя ничего не выйдет! Мы уже на полпути к цели, ничего изменить нельзя, – хриплым голосом пробормотал узник.

— За что Вы их не любите? Почему нужно это делать именно сейчас? – перебивая, воскликнул человек в чёрном.

— Именно сейчас и нужно, момент настал, участь настигнет каждого, они сами доигрались, жили бы себе, как говорит Он и ничего бы не произошло.

— Как говорит Он? Ты смеёшься? Он всегда думал только о себе, — человек в чёрном хохотал во весь голос.

— Не говори так, Он думает о всех нас… Ты же был одним из нас, ты всё прекрасно знаешь, — с укором произнёс узник.

— Вот именно, Я был с Вами! Поэтому я здесь, чтобы защитить их. Они ни в чём не виноваты, они такие же, как мы.

— Такие же, как ты! – перебил его узник. – В этом то, вся проблема. Ты захотел власти и предал Его, предал Нас.

— Я хотел свободы! Ты прекрасно это знаешь. Вы все хотите свободы, просто боитесь Его, Вы даже думать боитесь об этом. Вы всё уничтожаете, что идёт в разрез с Его словами.

— Это никакая не свобода – это иллюзия, это заблуждение, это развращение, это деградация, – узник говорил быстро и в то же время спокойно и уверенно.

Человек в чёрном вальяжно расхаживал по ангару, скрестив руки на груди, о чём-то думал. Неожиданно он спросил:

— Что Он им дал? Что Он Вам дал?

— Любовь! За эту Любовь мы и боремся!

— Что за вздор? Какую любовь? Не ту ли любовь, за которую приходиться умирать? Не ту ли любовь, за которую приходиться убивать?

— Ты растишь себе рабов, которые не знают истинной любви, ты упиваешься властью над ними, — узник перешёл на крик.

— Рабы? Они знают, за что они живут, верят в себя, они подвластны только самим себе, поэтому и спрашивать будут только с самих себя.

Читайте также:  Мясорубка aeg fw 5549

— Ты всё забыл…ты забыл, что ты был моим братом…в тебе говорит гордыня, ты не понимаешь, что мы спасаем их, — узник попытался перебить человека в чёрном.

— Ты говоришь, что спасаешь их, убивая? – воскликнул человек в чёрном.

— Ты во всём виноват! Под твоим влиянием, они стали не теми, кем были, — кашляя, произнёс узник.

— Они стали теми, кем должны были стать, они стали, как Он, как Ты, как Я. И это Его очень сильно бесит, Он видит в них свою сущность, свои пороки.

— Поэтому нужно не идти на поводу у своих грехов, каждый день бороться с низменными соблазнами, следовать Его словам.

Узник посмотрел на человека в чёрном, кашлянул и тихо произнёс:
— А что ты им дал? Мнимое счастье, иллюзорное восприятие мира, низменные ценности.

— Я дал им искусство, творчество, ремесло, науку – возможность творить, возможность стать, как мы, возможность приблизиться к Нему. Мы ведь все Его дети. Возможно, Он это забыл! Возможно, Он нас считает своими питомцами, которые ни на что не способны. Только Я доказал обратное. Мы есть часть Его, мы все и есть Он.

— Нет…слишком поздно! Они ничего не понимают, если не уничтожить их сейчас, могут быть необратимые последствия. Нужно обновить мир, нужно посеять новое, праведное семя, — сквозь зубы прошипел узник.

— Ах, как мне это знакомо… Если не изменяет мне память, где – то уже это было! Только ничего не поменялось, и Вы хотите опять перезагрузиться – МИР – версия — 3.0, — с презрением выпалил человек в чёрном.

— Это необратимо. Это будет всегда, пока они не поймут… Держа меня здесь, ты ничего не изменишь, не я это сделаю, так сделают другие братья. Твои воины не смогут помешать нам, Люцифер. Опомнись, ты ведь мне всё ещё брат.

— Умеете Вы архангелы запудрить мозги… Битва будет, даже если мы неминуемо падём, мы падём за правое дело, защищая их, даже если они будут отворачиваться от нас, бежать к Вам на верную гибель… Я отпущу тебя Михаил, и это только потому, что ты мне всё ещё брат, — Люцифер движением руки снял «оковы» с рук архангела Михаила.

— Знай одно Люцифер, уже всё давно произошло. Когда, Наш Отец, тебя и твоих воинов низверг сюда, Он сказал то, что ты хотел услышать, потому что Он любит тебя. Он отправил тебя в Ад. Мы сейчас в Аду, Я здесь для того, чтобы поддерживать равновесие, чтобы у тебя, Люцифер, была цель – изменить всё, цель которой нет. Ничего нет, кроме Его слова и Его самого. Да, Люцифер, ты проиграл, даже не начав игру. Он велик … Даже не пытайся.

— Пусть так, Михаил… Но ты ведь можешь говорить неправду, если Он может, то и ты можешь. А раз это так, я буду бороться до конца.

— Ты так ничего и не понял, Люцифер, — сказал архангел Михаил, встал со стула и вышел из ангара.

Люцифер вышел, закрыл ангар, погас свет.

На свои уже излюбленные, знакомые места, по — хозяйски, выползли крысы, с крыши всё также капала вода, растекаясь по всему полу ангара, сквозь щели проглядывались лучи солнца, освещая ржавые стены.

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ igg [frac<0> <0>igg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Читайте также:  Монитор dell ultrasharp u2415
Пример 1
Найти предел с корнем $$ lim limits_ frac<4-sqrt> $$
Решение

Подставляем $ x o 4 $ в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность $ [frac<0><0>] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+sqrt $

Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$ lim limits_ frac<4-sqrt> = -8 $$

Тип 2 $ igg [frac<infty> <infty>igg ] $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x o infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем $$ lim limits_ frac<sqrt> $$
Решение

Вставляем $ x o infty $ в предел и получаем $ [frac<infty><infty>] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ sqrt $. Выносим их за скобки:

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем $ x o infty $ в предел, имеем:

Ответ $$ lim limits_ frac<sqrt> = infty $$

Тип 3 $ igg [infty-infty igg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня $$ lim limits_ sqrt-x $$
Решение

При $ x o infty $ в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем:

Снова подставляем $ x o infty $ в предел и вычисляем его:

Методы решений

Для вычисления пределов с корнями, применяются приемы и методы, аналогичные методам вычисления пределов с многочленами (см. «Решение пределов с дробями из многочленов»). При этом возможны следующие дополнительные приемы, специфичные для функций с корнями:
1) убрать корни с помощью подстановки, применяя теорему о пределе сложной функции; Примеры ⇓
2) разделить числитель и знаменатель на x s (в случае неопределенности вида ∞/∞ при x → ∞ ), где s – некоторое подобранное число; Пример ⇓
3) выразить бесконечно малые функции, содержащие корни, через бесконечно малые линейные функции, используя приведенные ниже формулы (то же самое в случае разности бесконечно больших функций); Примеры ⇓
4) иногда удобно бесконечно малую функцию преобразовать в сумму или разность бесконечно малых функций, пределы от которых легко находятся. Пример ⇓

В последних двух случаях применяются следующие формулы:
;
;
;
. . . . . . . .
.
Например:
;
;
.

Эти же формулы применяют и для раскрытия разности бесконечно больших функций: .

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих примеров.
Найти предел последовательности:
решение ⇓ ;
найти следующие пределы функций с корнями:
⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ , ⇓ .

Решение подстановкой

Пример 1

Подставим . Тогда .
При . Мы имеем неопределенность вида .

Замечаем, что от корня можно освободится, если сделать подстановку . Отсюда ; при .
Тогда функцию за знаком предела можно представить как сложную:
,
где , .

Далее необходимо применить теорему о пределе сложной функции. Для ее применения должны выполняться два условия:
1) должны существовать пределы , ;
2) должна существовать такая проколотая окрестность точки , на которой значения функции не равны .

В нашем случае функция непрерывна на всей области определения . Поэтому
.
Предел функции мы вычислим позже.

Читайте также:  Печать брошюры в word 2007

Рассмотрим условие 2). Оно является важным, если функция не является непрерывной в точке . В нашем случае не определена при . Поэтому, если бы в любой проколотой окрестности точки , существовали такие точки , для которых , то сложная функция была бы не определена в этих точках и поэтому не имела бы предела. Однако, если существует такая окрестность точки , на которой функция строго монотонна, то условие 2) выполняется автоматически. В нашем случае, строго возрастает на всей области определения. Поэтому второе условие выполнено. В самом деле, поскольку строго монотонна, то она может принимать значение только в одной точке. Это точка , которая не принадлежит ни одной проколотой окрестности точки . А если это была бы другая точка, то мы могли бы сузить проколотую окрестность, чтобы эта точка оказалась за ее пределами.

Теперь вычисляем второй предел:
.

Он не содержит корней. То есть мы свели задачу к пределу от разности дробей многочленов. Применяем методы, изложенные на странице «Решение пределов с дробями из многочленов».

Разложим знаменатель на множители и приводим дроби к общему знаменателю:
;

.
Делим числитель и знаменатель на . При имеем:
.
Находим предел:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел последовательности:
.

Преобразуем элемент заданной последовательности, воспользовавшись свойствами корней:
.

Далее, если мы найдем предел функции
,
то согласно определению предела функции по Гейне, искомый предел заданной последовательности будет равняться этому пределу: , поскольку при .

Находим предел отношения многочленов, выделяя и сокращая в числителе и знаменателе множитель :

.

Неопределенность ∞ / ∞

Пример 3

Все примеры ⇑ Найти предел отношения корней:
.

Здесь, при числитель и знаменатель стремятся к . У нас неопределенность вида . Для ее раскрытия, последовательно выносим бесконечно большую часть в числителе и знаменателе за скобки. При имеем:

;

;
;

;
.

Линеаризация бесконечно малых (больших) функций

Пример 4

Все примеры ⇑ Найти предел дроби с корнями:
.

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Числитель и знаменатель обращаются в нуль. Мы имеем неопределенность вида 0/0 .
Для ее раскрытия, линеаризуем бесконечно малые функции, используя формулу:
(П4.1) .

Делим числитель и знаменатель на и находим предел:

.
Здесь , .

Пример 5

Подставим в числитель и знаменатель:
;
.
Мы имеем неопределенность вида 0/0 .

Чтобы упростить вычисления, здесь удобно представить бесконечно малые функции в числителе и знаменателе в виде сумм и разностей других бесконечно малых функций:
(П5.1) .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :
.
Отсюда
, где .
Заметим, что .

Применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где .
.

Наконец, применим формулу:
.
Подставим :

.
Отсюда
, где .
.

Подставляем полученные выражения в (П5.1):
.
Делим числитель и знаменатель на x . В результате мы освобождаемся от неопределенности и находим предел непрерывной функции:

.

Можно было записать и так:

.
После чего вычислить пределы:
.

Пример 6

Все примеры ⇑ Найти предел функции с корнями при x стремящемся к бесконечности:
.

Поскольку, при , и , то мы имеем неопределенность вида +∞ – (+∞) .

Применим формулу:
(П6.1) .
Подставим :

.
Отсюда, при имеем:
(П6.2) .

В числителе опять неопределенность +∞ – (+∞) . Применяем формулу (П6.1) еще раз. Подставим :

.
Отсюда
.

Подставим в (П6.2):
,
где .
Теперь у нас неопределенность вида ∞/∞ . Для раскрытия этой неопределенности, преобразуем знаменатель. Выделим бесконечно большую часть и вынесем ее за скобки. При имеем:
;

;
;

;
;
.

Делим числитель и знаменатель в функции на . При имеем:
.
Находим предел.
При , ,

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математики. Том 1. Москва, 1957.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Москва, 1997.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 02-02-2019 Изменено: 06-02-2019

Ссылка на основную публикацию
Кнопка навигации в телефоне хонор
Вы владелец смартфона Honor и вы хотите узнать, для чего нужна кнопка навигации? В этой статье вы найдете информацию о...
Какой зарядкой заряжать повер банк
Итак, наконец-то у вас есть мобильное зарядное устройство (Power Bank) . Поздравляем! Купить Power Bank в Украине - очень правильное...
Какой из новых айфонов лучше
Выбираем из XS, XS Max и XR. Так как Apple представила три новые модели iPhone, на плечи пользователя возложили ношу...
Кнопка очистки формы html
Кнопки являются одним из самых понятных и интуитивных элементов интерфейса. По их виду сразу становится понятно, что единственное действие, которое...
Adblock detector