Функция с двумя аргументами

Функция с двумя аргументами

Геометрический смысл полного дифференциала.

Неявные функции и их дифференцирование

Тельная плоскость и нормаль к поверхности

Смысл полного дифференциала функции двух аргументов. Каса-

Неявные функции и их дифференцирование.Геометрический

Производные сложных функций

Частные производные

Определение. Частной производной по x от функции z = f(x,y) называется

предел отношения частного приращения к приращению при

Пусть задана функция z = f(x,y) , причём , тогда функция z есть сложная функция одной независимой переменной t и 2-х промежуточных аргументов x и y. Найдём производную этой сложной функции , зная частные производные ,а также . Предполагаем , что x, y , z — дифференцируемые функции. Пусть независимая переменная t получит приращение , тогда и тоже получат приращение , можно представить

Разделим (1) на и перейдём к пределу, получим :

Можно показать , что = 0 и равенство (2) примет вид

Правило.Производная сложной функции по независимому аргументу равна:

частной производной функции по первому промежуточному аргументу, умноженному на производную промежуточного аргумента по независимому плюс частная производная функции по второму промежуточному аргументу , умноженному на производную второго промежуточного аргумента по независимому.

Пример.Найти если .

Решение. Используя формулу (3) , получаем :

. Пусть z = f(x,y) , если y = y(x) . Здесь z есть функция одной переменной x , y – промежуточный аргумент, но и x тоже можно считать промежуточным аргументом , поэтому можно применить формулу (3) , положив в ней вместо t переменную x .

,окончательно (4)

. Пусть z = f(x,y) , причём x = x(u,v) , y = y(u,v). Найдём частные производные и . Следуя правилу , получим

Пример.Дана функция z = , где u = , v = . Найти , .

Решение. Здесь u и v — промежуточные аргументы , а x , y – независимые, поэтому формулы (5) перепишем .

ЛЕКЦИЯ 9 .Инвариантностьформы полного дифференциала.

Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть задана функция z =f(x,y). Известно , что dz = ,

покажем , что эта форма сохраняется , когда .

Доказательство.Так как u, v независимые переменные ,тоdz = .

Используя правила дифференцирования сложной функции ,получаем dz = du + = = ч.т.д.

Читайте также:  Как можно отфотошопить фотографию

Пусть F(x,y,z) = 0 , где z – функция от x, y.Найдём z’x и z’y . Зафиксируем y = const, тогда F(x,y,z(x,y)) = 0, дифференцируем по правилам сложной функции F’x y+ F’z z’y = 0

Пример. Найти частные производные первого порядка функции z по переменным x и y , если функция задана неявно

Решение. Обозначим F(x,y,z) = , тогда F’x = 2xy ; F’y = x 2 ; F’z = . Подставляем в формулы .

Пусть задана функция z = f(x,y) и точка x= x ,y = y . Графиком этой функции является поверхность Tx

Z Рассмотрим сечение этой поверх-

ности плоскостями y=y и x =x .

Ty ниям пересечения поверхности

y Прямая MTx лежит в плоскости

0 y = y параллельной плоскости

OXZ и является касательной в

точке М её уравнение имеет

Аналогично уравнение касательной М Тy z – z = f’y (x ,y ) (y-y), x = x .

Эти прямые лежат в касательной плоскости , уравнение которой можно записать в виде z – z = A (x – x) + B (y – y ) , определим А и В . Уравнение каса-

тельной М Тx y = y , подставим в уравнение касательной плоскости , получим:

, аналогично получим , что В = уравнение касательной плоскости.

В общем виде можно записать : читается так: частная производная от функции z , взятая по переменной x p –раз и по переменной y-( n-p) раз.

Пример.Вычислить все производные 2-го порядка от функции f(x,y) = x 2 y+y 3 .

Решение. ; ; ; .

Видим , что смешанные производные = равны между собой и это не случайно.

Теорема.Если функция z = f (x,y) и её частные производные f’x , f’y , f’’xy ,f’’yx, определены и непрерывны в точке М ( x,y) , то в этой точке .

Пример.Доказать , что = , если z = .

Решение. = )

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 934 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Обновл. 31 Дек 2019 |

В первой главе этого туториала мы рассматривали функции в следующих уроках:

Перед тем как продолжить, вы должны быть знакомы с концепциями, обсуждаемыми в этих уроках.

Читайте также:  Xeon e5440 совместимость с материнскими платами

Параметры vs. Аргументы

В следующих трёх уроках мы поговорим о параметрах и аргументах, поэтому давайте вкратце вспомним их определения.

Параметр функции (или ещё «формальный параметр») — это переменная, объявленная в объявлении функции:

Аргумент (или ещё «фактический параметр») — это значение, которое передает в функцию вызывающий объект (caller):

Когда функция вызывается, все параметры функции создаются как переменные, а значения аргументов копируются в параметры. Например:

При вызове boo() с аргументами 4 и 5 , создадутся параметры x и y функции boo() и им присвоятся соответствующие значения: 4 и 5 . Результатом будет x = 4 и y = 5 .

Примечание: В примере выше порядок обработки параметров в функции boo() будет справа налево, т.е. сначала создастся переменная y и ей присвоится значение 5 , а затем уже создастся переменная x и ей присвоится значение 4 . Порядок, в котором инициализируются параметры в круглых скобках функции, определяет каждый компилятор отдельно, так как С++ явно не указывает этот порядок обработки. С параметрами-переменными это не столь важно и критично, но если вы будете использовать в качестве параметров функции вызовы других функций (что является плохой практикой и не рекомендуется делать), то результат может быть неожиданным.

Уважаемые, добрый день! Так получилось, что я сам изучаю принципами пользования функциями в программе Excel. И выросла у меня очень большая проблема — хочу написать формулу "если" при условии друх аргументов, но эта формула всегда выдает неправильный результат. Причем я понимаю, что где ошибка, но не знаю где искать. В учебниках тоже внятного не нашел. Вот внешний вид моей формулы, подскажите где ошибка —

=ЕСЛИ (Аргумент1>0 и Агумент2>0;Аргумент3=Аргумент1+Аргумент2;0)

И по всей вероятности ошибка где-то в первой яасти формулы. Заранее Вам благодарен за совет, урок, знание. С уважением Валера

Читайте также:  Не удается установить виндовс 7 формат gpt

=ЕСЛИ (И (Аргумент1>0;Агумент2>0);Аргумент3=Аргумент1+Аргумент2;0)

=ЕСЛИ ((Аргумент1>0) *(Аргумент2>0);Аргумент1+Аргумент2;0)
если используются только числа, тогда можно упростить:
=(Аргумент1>0) *( Агумент2>0)*(Аргумент1+Аргумент2)

Ссылка на основную публикацию
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Adblock detector