Формула нахождения координаты точки

Формула нахождения координаты точки

Рассмотрим произвольную прямоугольную систему координат Оху, с началом координат в точке О. Пусть дана произвольная тоска А(х;у) с неотрицательной ординатой у. Отобразим всё вышесказанное на рисунке.

Попробуем выразить координаты точки А через длину отрезка ОА и угол а между лучом ОА и положительным направлением оси Ох. На рисунке добавим единичную полуокружность, и отметим на ней точку пересечения с лучом ОА. Так как мы рассматриваем только положительные значения ординаты, то угол а будет всегда принадлежать промежутку от 0 градусов до 180 градусов.

Нам уже известно, что для любого угла а принадлежащего промежутку от 0 до 180 градусов синусом угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а называется абсцисса х точки М.

По определению вектора, координаты вектора ОМ будут равны координатам точки М, то есть вектор ОМ = . По определению вектора, вектор ОА будет иметь такие же координаты, как и сама точка А, то есть вектор ОА = <х;у>. С другой стороны, вектор ОА будет равен произведению длинны отрезка ОА на вектор ОМ.

Вектор ОА = ОА*(вектор ОМ). Следовательно, координаты точки можно выразить с помощью следующих формул:

Задача:

Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительным направлением оси Ох равен а. Найдите координаты точки А, если а) ОА = 3, а = 45˚ б) ОА = 1.5, а = 90˚ в)ОА = 2, а = 30˚

Воспользуемся формулами для вычисления координат точки, которые мы получили выше:

Где х и у будут искомыми координатами точки А.

Теперь будем производить вычисления:

а) ОА = 3, а = 45˚, sin(a) = √2/2, cos(a) = √2/2;

x = 3*√2/2 = (3*√2)/2, y = 3*√2/2 = (3*√2)/2.

б) ОА = 1.5, а = 90˚, sin 90˚= 1, cos 90˚= 0;

Читайте также:  Как настроить телефон флай после сброса настроек

x = 1.5*0 = 0, y = 1.5*1 = 1.5;

в) ОА = 2, а = 30˚, sin 30˚=1/2, cos 30˚= √3/2;

x = 2*√3/2 = √3, y = 2*1/2=1;

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Основное тригонометрическое тождество: формулы приведения
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspТеорема о площади треугольника: доказательство и решение задач

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Начнем с постановки задачи на плоскости.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы координаты двух несовпадающих точек A(xA, yA) и B(xB, yB). Нам требуется найти координаты xC и yC точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , где  — некоторое положительное действительное число.

Поясним смысл фразы: «точка С делит отрезок АВ в отношении ». Это выражение означает, что точка С лежит на отрезке АВ (является внутренней точкой отрезка АВ) и отношение длин отрезков АС и СВ равно  (то есть, выполняется равенство = ). Обратим внимание, что в этом случае точка А является как бы началом отрезка, а точка В – его концом. Если же сказано, что точка С делит отрезок ВА (а не АВ) в отношении  , то будет выполняться равенство = . Очевидно, что при  = 1 точка С является серединой отрезка АВ.

Поставленная задача может быть решена с помощью векторов.

Изобразим в прямоугольной декартовой системе координат некоторый отрезок АВ, точку С на нем и построим радиус-векторы точек А, В и С, а также векторы и . Будем считать, что точка С делит отрезок АВ в отношении .

Мы знаем, что координаты радиус-вектора точки равны соответствующим координатам этой точки, поэтому,

= (xA, yA) и = (xB, yB)

Найдем координаты вектора , которые будут равны искомым координатам точки С, делящей отрезок АВ в заданном отношении .

В силу операции сложения векторов можно записать равенства

= + и = + =

Их мы используем в следующем абзаце.

Так как точка С делит отрезок АВ в соотношении , то =  , откуда модуль |AC| = |CB| . Векторы и лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление, а выше мы отметили, что 0 , поэтому, по определению операции умножения вектора на число справедливо равенство = . Подставив в него = , имеем = () . Тогда равенство = + можно переписать как = +() , откуда в силу свойств операций над векторами получаем

= (+)

Осталось вычислить координаты вектора

= (+),

выполнив необходимые и в координатах. Так как

= (xA,yA) и = (xB,yB),

то +=(xA+xB,yA+yB),

= (+)=(, ).

Таким образом, на плоскости координаты точки С, которая делит отрезок АВ в отношении , находятся по формулам

xC= и yC=

1.4 Координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении, в пространстве

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении, не на плоскости, а в трехмерном пространстве.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы координаты точек A(xA,yA,zA) и B(xB,yB,zB), а требуется найти координаты xC, yC и zC точки С, которая делит отрезок АВ в отношении .

Если провести рассуждения, аналогичные случаю на плоскости, то также придем к равенству

= (+)

Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, поэтому,

= (xA,yA,zA) и = (xB,yB,zB). Тогда

= (+) = (, , ).

Следовательно, в трехмерном пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении , имеет координаты

(, , )

Выберем две любые несовпадающих точки А и В, соединим их при помощи линейки прямой от А к В (или от В к А), и получим отрезок АВ (или отрезок ВА).

Точки А и В – это концы отрезка.

Необходимо понимать, что отрезок АВ и отрезок ВА это один и тот же отрезок.

Точка С называют серединой отрезка АВ в том случаем если она принадлежит данному отрезку и равноудалена от его концов.

При решении геометрических задачах неоднократно требуется найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, к примеру, в заданиях нахождения медианы, средней линии, а значит, формулы будут иметь широкое практическое применение.

Координаты середины отрезка равны полусуммам координат его концов.

Ссылка на основную публикацию
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Тело массой м брошено
Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью v 0 =...
Телефоны с ик портом 2018
В большинстве домов можно обнаружить несколько устройств, которые управляются пультом дистанционного управления: телевизор, музыкальный центр, система климат-контроля, камера наблюдения и...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Adblock detector