Формула ах2 вх с

Формула ах2 вх с

Краткое описание документа:

Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с – действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.

Напомним, что ах 2 — это старший член этого квадратного трехчлена, а – его старший коэффициент.

Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.

Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с – любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.

Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 – 6х + 1.

Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 – 6х + 1.

Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.

Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).

На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.

Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.

График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит –b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас – b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.

Читайте также:  Сравнение производительности процессоров для смартфонов

Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.

Возьмем функцию у = -3х 2 — 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).

График функции у = -3х 2 — 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.

Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви — вверх, а если отрицательный, то — вниз.

Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.

И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.

Построим график функции у = 2х 2 — х + 1.

Определяем сразу — графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.

Вершина – (1,5;-3,5). Ось – х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.

Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:

— найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;

— на оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;

— через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.

Читайте также:  Обновления для windows 7 ultimate x64

В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х — 5 на отрезке [0;3].

По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое – 3, (2;3) – вершина параболы, а х=2 является осью.

Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемМатвей Дорофеев

Похожие презентации

Презентация на тему: " Преобразование графика квадратичной функции. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=ах 2 +вх+с, где х — независимая." — Транскрипт:

1 Преобразование графика квадратичной функции

2 Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=ах 2 +вх+с, где х — независимая переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а 0.

3 Заполни пропуски … 1).Функция у = ax 2 + bx + c, где а, b, c – заданные действительные числа, а 0, х – действительная переменная, называется … функцией. 2).График функции у = ах 2 при любом а 0 называют …. 3).Функция у = х 2 является … (возрастающей, убывающей) на промежутке х 0. 4).Значения х, при которых квадратичная функция равна нулю, называют … функции. 5).Точку пересечения параболы с осью симметрии называют … параболы. 6).При а >0 ветви параболы у = ах 2 направлены …. 7).Если а 0 ветви параболы у = ах 2 направлены …. 7).Если а

4 Построение графика функций Построить в одной системе координат графики функций и сделать выводы: 1. у=х 2 2. у=2 х 2 3. у= х 2

5 График функции у=2 х 2 можно получить из параболы у=х 2 растяжением вдоль оси Оу в 2 раза; График функции у=1/2 х 2 можно получить из параболы у=х 2 сжатием относительно оси Оу в 2 раза;

Квадратное уравнение выглядит следующим образом:

ах 2 + вх + с = 0.

Смысл его решения заключается в нахождении корней – значений х, при которых равенство становится верным.

Основные формулы корней квадратного уравнения

Самый простой вариант, хорошо известный любому школьнику – это вычисление корней через дискриминант. Его значение определяется по формуле:

После нахождения дискриминанта уравнения возможны три варианта расчета:

    В том случае, когда D больше нуля, применяются следующие формулы корней квадратного уравнения:
Читайте также:  Топ наушников для смартфона 2018

Если значение D равно нулю, то используется другая формула решения:

В данном случае уравнение имеет два одинаковых корня, для упрощения записи рассчитывается только один.

  • Если D меньше нуля, то корней нет. Это значит, равенство не может быть верным ни при каких числовых значениях.
  • Этот алгоритм является универсальным, с его помощью можно найти корни абсолютно любого уравнения. Однако, в некоторых случаях проще и быстрее использовать другие формулы.

    Другие способы решения квадратных уравнений

    Неполные уравнения (в и/или с равно нулю) решается другими способами:

    Пример:

    Перенос показателя с в другую часть равенства со сменой знака.

    Пример:

    Приведенные уравнения (а = 1) имеют следующий вид:

    Решение квадратных уравнений этого вида также возможно через дискриминант, но обычно для них применяются формулы, выведенные из теоремы Виета:

    1. х1+х2= -р.
    2. х1*х2 = q.

    Зная эти равенства, можно легко вычислить корни уравнения. Четкого алгоритма расчета здесь нет, числа просто подставляются методом подбора.

    Стоит пояснить, что обыкновенное уравнение, которое имеет вид ах 2 + вх + с = 0, можно сделать приведенным. Для этого необходимо разделить все его члены (ах 2 ; вх; с) на а. Делать это стоит в том случае, если в и с делятся на а без остатка, в остальных случаях удобнее решать уравнение традиционным способом через дискриминант.

    2х 2 – 18х + 40 = 0

    Сделаем уравнение приведенным: х 2 – 9х + 20 = 0.

    Обычно при решении уравнений таким способом значение корней становится сразу же очевидно. Если же с их вычислением возникают проблемы, стоит забыть об этом способе и вернуться к способу с дискриминантом. При этом можно использовать как первоначальный вид уравнения, так и приведенный. Результат будет один и тот же.

    Чтобы упростить выполнение математических заданий, можно решить квадратные уравнения он-лайн. Для этого нужно подставить в специальный калькулятор значения а, в и с, а затем нажать на кнопку “рассчитать”. Он-лайн решения помогут ученикам понять принципы выполнения сложных уравнений. Однако, стоит помнить о том, что на экзамене работу придется делать самостоятельно.

    Чтобы не забыть, как решать квадратные уравнения через дискриминант и другими способами, можно скачать формулы и сделать их распечатку.

    Ссылка на основную публикацию
    Уравнение окружности в полярных координатах
    Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
    Тело массой м брошено
    Тело массой m = 5 кг брошено под углом α = 30° к горизонту с начальной скоростью v 0 =...
    Телефоны с ик портом 2018
    В большинстве домов можно обнаружить несколько устройств, которые управляются пультом дистанционного управления: телевизор, музыкальный центр, система климат-контроля, камера наблюдения и...
    Уравнение пучка прямых проходящих через точку
    Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
    Adblock detector