Что значит периодическая функция

Что значит периодическая функция

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается — вещественные числа с операцией сложения или — комплексные числа). Функция (где — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов 0, Tinmathbb>" border="0" /> имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как

  • Функция, равная константе , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с соизмеримыми периодами и не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратномуи (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции основной период равен , у функции , а у их суммы основной период, очевидно, равен .
  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция из предыдущего примера и функция имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

  • Квазипериодическая функция

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Периодическая функция" в других словарях:

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, т. н. периода функции. Напр., sin х периодическая функция с периодом 2?, ибо sin (х + 2?) = sin x при любых х. Широко применяются в… … Большой Энциклопедический словарь

Периодическая функция — функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2π; дробная часть числа х П. ф. с периодом 1;… … Большая советская энциклопедия

Периодическая функция — [periodic function] функция y=f(x), значение которой не меняется в случае, если к аргументу прибавить некоторое фиксированное ненулевое число Т (называемое периодом этой функции) , то еcть существует равенство: f(x) = f(x+T). Пример П.ф.:… … Экономико-математический словарь

периодическая функция — Функция y=f(x), значение которой не меняется в случае, если к аргументу прибавить некоторое фиксированное ненулевое число Т (называемое периодом этой функции) , то еcть существует равенство: f(x) = f(x+T). Пример П.ф.: синусоида. П.ф. широко… … Справочник технического переводчика

Читайте также:  Как узнать айди в вк другого человека

периодическая функция — функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа, так называемого периода функции. Например, sinx периодическая функция с периодом 2π, ибо sin(x + 2π) = sinx при любых x. Широко применяются … Энциклопедический словарь

периодическая функция — periodinė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. periodic function vok. periodische Funktion, f rus. периодическая функция, f pranc. fonction périodique, f … Fizikos terminų žodynas

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, имеющая период. 1) Пусть функция f(x).определена на и имеет период Т. Для получения графика f(x) достаточно график функции f(x).на , где а нек рое число, переместить вдоль R на + Т, +2Т, . . Если П. ф. f(x).с периодом Тимеет конечную… … Математическая энциклопедия

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, значения к рой не изменяются при прибавлении к аргументу нек рого (отличного от нуля) числа, т. н. периода функции. Напр., sin х П. ф. с периодом 2ПИ, ибо sin (х + 2ПИ) = sin x при любых х. Широко применяются в математике, физике и… … Естествознание. Энциклопедический словарь

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — ф ция, значения к рой не изменяются при прибавлении к аргументу нек рого (отличного от нуля) числа, т. н. периода ф ции. Напр., sinx П. ф. с периодом 2я, ибо sin (х + 2ПИ) = sinх при любых х. П. ф. широко применяются в математике, физике и… … Большой энциклопедический политехнический словарь

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том… … Математическая энциклопедия

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

  1. Если число T является периодом функции y=f(x), то и число -T также является периодом этой функции.
  2. Если числа T1 и T2 являются периодами функции y=f(x) и T1+T2≠0, то и число T1+T2 также является периодом функции y=f(x).
  3. Если число T является периодом функции y=f(x), то и любое число вида nT, где n∈Ζ и n≠0 также является периодом этой функции.
  4. Если число T является периодом функции y=f(x), то число T/k является периодом функции y=f(kx+b) (где k≠0).
  5. Если число T является периодом функции y=f(x) и функции y=g(x), то сумма, разность, произведение и частное этих функций являются периодическими функциями с тем же периодом T.

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Вместо каждого T подставим в это равенство -T:

f(x+T)=f(x)=f(x-T), то есть -T также является периодом функции y=f(x).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то

Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1

Для аргумента x+T1

Читайте также:  Общаться с момо игра

Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство =, то функция дробной части числа y= — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y=.

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

В частности, при x= -T/2:

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

Поэтому периодичность функции используют для построения графика: достаточно построить часть графика на любом промежутке, длина которого равна величине наименьшего положительного периода T (например, на отрезке [0;T]), а затем выполнить параллельный перенос построенной части вдоль оси Ox на ±T, ±2T, ±3T, … .

Дана часть графика

с периодом T на

промежутке длиной T.

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

Читайте также:  Как скопировать шапку таблицы в ворде

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период ,

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен . Значит, на отрезке укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке

На каком же расстоянии от точки расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если отключился звук на компьютере
Мы зарегистрировали подозрительный трафик, исходящий из вашей сети. С помощью этой страницы мы сможем определить, что запросы отправляете именно вы,...
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Что делать если полетели драйвера видеокарты
Распространенная ошибка в Windows 7 и реже в Windows 10 и 8 — сообщение «Видеодрайвер перестал отвечать и был успешно...
Adblock detector