Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:
где p и q неизвестные параметры которые требуется определить.
Для определения неизвестных параметров p и q , преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:
и далее, раскроем скобки:
Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра a , поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр p и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:
Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра q :
Подставляем полученные значения p и q в самое первое уравнение и получаем формулу для выделения полного квадрата из квадратного многочлена:
Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для решения квадратных уравнений.
Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.
Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | ||
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2401 |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 |
Таблица квадратов
Теория
Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:
Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».
| Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул: |
a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 (1) ,
a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 (2) ,
и a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) (3) .
выделения полного квадрата:
для применения формулы (2) нам необходимо выражение x 2 – 10x + 5 2 ,
значит прибавим и отнимем от нашего многочлена 5 2 ;
= x 2 – 10x + 5 2 – 5 2 – 11 = ( x 2 – 10x + 5 2 ) – 36 = ( x – 5 ) 2 – 6 2 =
теперь применим формулу разность квадратов (3) ;
= ( x – 5 – 6 ) ( x – 5 + 6 ) = ( x – 11 ) ( x + 1 ) .
| x 4 + 4 y 4 |
| x 2 + 2 y 2 + 2 x y |
=
разложим числитель на множители методом выделения полного квадрата:
для применения формулы (1) нам необходимо выражение x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ,
значит прибавим и отнимем от нашего многочлена 4 x 2 y 2 ;
( x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 ) − 4 x 2 y 2 = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − 4 x 2 y 2 =
теперь применим формулу разность квадратов (3) ;
= ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = ( x 2 + 2 y 2 − 2 x y ) ( x 2 + 2 y 2 + 2 x y ) ;
