Что такое окрестность в математике

Что такое окрестность в математике

Определение окрестности точки

Окрестностью действительной точки x называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 – произвольные положительные числа.

Эпсилон — окрестностью точки x называется множество точек, расстояние от которых до точки x меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон — окрестность:
(2) .
Эпсилон — окрестность – это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ — окрестность, σ — окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. теорему ниже ⇓). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон — окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x – это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x – это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x – это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x :
.

Проколотая эпсилон — окрестность точки x :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность:
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность:
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят понятие окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Читайте также:  Книга памяти ивановской области поиск по фамилии

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Сформулируем первое определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции.
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше свойству ⇑,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть – наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно свойству окрестностей ⇑, . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-04-2018

Операции над множествами

Понятие множества. Операции над множествами

Понятие множества является первичным, не определяемым через более простые.

Читайте также:  Как в браузере опера включить vpn

Множество – это совокупность некоторых объектов. Эти объекты, называют элементами, или точками, этого множества.

Это может быть множество точек окружности, множество предприятий отрасли, множество студентов в аудитории и т.п. Примеры множеств:

D — множество чисел от 5 до 10

F — множество чисел от 7 до 100

N – множество натуральных чисел

Множества могут включать любое количество элементов – один (Е), другое конечное число (A, B, C, E, G), бесконечное число (D, F, N) либо ноль, т.е. вообще ни одного элемента. В последнем случае множество называют пустым и обозначают Æ.

Говорят, что элемент множества принадлежит этому множеству. Для обозначения принадлежности используется символ «Î» (если элемент не принадлежит множеству, это обозначают символом «Ï»). Например,
Иванов Î А; 5 Î С; 10Ï С.

Если одно множество состоит из части элементов другого или совпадает с ним, то первое из них называют подмножеством второго и записывают это с помощью символа «Ì». Например, Е – подмножество А, т.е. Е Ì А.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Оно обозначается символом «È». Например, DÈF — множество чисел от 5 до 100.

Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств. Оно обозначается символом «Ç». Например, DÇF — множество чисел от 7 до 10; CÇD = <5; 8>; АÇЕ = <Иванов>; АÇG = Æ.

Разностью множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих первому из них, которые не принадлежат второму. Она обозначается символом «». Например, <Смирнов, Петров, Сидоров>; СD = <-7; 0,9; 100>.

Дополнением множества, которое является подмножеством другого множества, называют множество, состоящее из всех элементов второго множества, не принадлежащих первому. Например, для Е Ì А дополнением Е до А будет множество <Смирнов, Петров, Сидоров>=АЕ.

Множества, элементами которых являются действительные[1] числа, называются числовыми. Например, C, D, F, N – числовые множества.

Из школьного курса алгебры известны числовые множества: R — действительных чисел, Q — рациональных, I — иррациональных, Z — целых, N — натуральных чисел. Очевидно, что NÌZÌQÌR, IÌR, R=QÈI.

Множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единица масштаба. Между множеством действительных чисел и точками этой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой — определенное действительное число (см. рис. 1.1). Поэтому часто вместо "число х" говорят "точка х".

Читайте также:  Телефон леново греется при зарядке

Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству a £ x £ b, называется отрезком (или сегментом) [а; b]; неравенству а

Абсолютная величина разности двух чисел |х — а| означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х а (см. рис. 1.2). Поэтому, например, решениями неравенства |х — а| 0) будут точки х интервала ]а — e, а + e[.

Окрестность точки. Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал ]а — e, а + e[, т.е. множество точек х таких, что |х — а| 0) называется e-окрестностью точки а (см. рис. 1.3).

| следующая лекция ==>
|

Дата добавления: 2013-12-12 ; Просмотров: 1663 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Окре́стность в общей топологии — это базовое понятие, определяющее топологическое пространство. Неформально говоря, окрестность точки множества — это такое подмножество, которое содержит данную точку.

Определения

  • Пусть задано топологическое пространство $ (X,mathcal) $ , где $ X $ — произвольное множество, а $ mathcal $ — определённая на $ X $ топология. Множество $ V subset X $ называется окрестностью точки $ xin X $ , если существует открытое множество $ Uin mathcal $ такое, что $ x in U subset V $ .
  • Аналогично окрестностью множества $ M subset X $ называется такое множество $ V subset X $ , что существует открытое множество $ Uin mathcal $ , для которого выполнено $ M subset U subset V $ .

Замечания

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность $ V $ была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество $ U $ . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако, в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Прямо из определения следует, что $ V $ является окрестностью множества $ M $ тогда и только тогда, когда $ V $ есть окрестность любой точки $ xin M $ .

Проколотая окрестность

Множество $ dot $ называется проко́лотой окре́стностью точки $ xin X $ , если

где $ V $ — окрестность $ x $ .

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда $ [-1,2] $ является окрестностью, а $ (-1,2) $ открытой окрестностью точки $ 0 $ . Множество $ (-1,2) setminus <0>equiv (-1,0) cup (0,2) $ является проколотой окрестностью $ 0. $

Ссылка на основную публикацию
Что делать если отключился звук на компьютере
Мы зарегистрировали подозрительный трафик, исходящий из вашей сети. С помощью этой страницы мы сможем определить, что запросы отправляете именно вы,...
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Что делать если полетели драйвера видеокарты
Распространенная ошибка в Windows 7 и реже в Windows 10 и 8 — сообщение «Видеодрайвер перестал отвечать и был успешно...
Adblock detector