Числа которые читаются одинаково слева направо

Числа которые читаются одинаково слева направо

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита — 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит*.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:

1353 + 3531 = 4884.

А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.

Можно рассматривать не только сложение, но и другие операции, включая возведение в степень и извлечение корней. Вот несколько примеров того, как при их помощи из одних палиндромов получаются другие:

До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.

Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.

Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида и , где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:

13 и 31, 17 и 71,

37 и 73, 79 и 97.

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.

Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:

Аналогичная картина наблюдается и у бо`льших простых чисел, например:

Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:

Кстати, простые многозначные числа вида встречаются, очевидно, только среди репьюнитов. Таких чисел известно пять. Примечательно, что у каждого из них количество цифр выражается простым числом: 2, 19, 23, 317, 1031. А вот среди простых чисел, у которых все цифры, кроме центральной, единицы, был обнаружен палиндром весьма внушительной длины — в нём 1749 цифр:

Вообще среди простых чисел-палиндромов встречаются удивительные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант

А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом (5903 или 5).

Любопытные палиндромические закономерности просматриваются и в группах простых чисел, в записи которых присутствуют определённые цифры. Скажем, только цифры 1 и 3, причём в каждом числе. Так, двузначные простые числа составляют упорядоченные пары 13 — 31 и 31 — 13, из шести трёхзначных простые сразу пять чисел, среди которых есть два палиндрома: 131 и 313, а ещё два числа образуют пары «перевёртышей» 311 — 113 и 113 — 311. Во всех этих случаях составленные пары наглядно представляются в виде числовых квадратов (рис. 1).

Своими свойствами они напоминают магический и латинский квадраты. Например, у среднего квадрата сумма чисел, стоящих в каждой строке и в каждом столбце, равна 444, на диагоналях — 262 и 626. Сложив числа из всех клеток, получим 888. И что характерно, каждая сумма — палиндром. Даже просто выписывая без пробела несколько чисел из одной таблицы, получим новые палиндромы: 3113, 131313131 и т. д. Какое наибольшее число можно составить таким способом? Будет ли оно палиндромом?

Читайте также:  Как отменить инициализацию ps4

Если в каждую из пар 311 — 113 и 113 — 311 добавить 131 или 313, образуются четыре палиндромические тройки. Запишем одну из них в столбик:

Как видим, и сами числа, и нужная их комбинация дают о себе знать при прочтении в разных направлениях. Кроме того, расположение цифр симметрично, а их сумма в каждой строке, каждом столбце и на одной из диагоналей выражается простым числом − 5.

Надо сказать, рассмотренные числа интересны и сами по себе. Например, палиндром 131 — простое циклическое число: при любых последовательных перестановках первой цифры на последнее место он порождает простые числа 311 и 113. Можете ли вы указать другие простые палиндромы, обладающие таким же свойством?

А вот пары чисел-«перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Любопытно, что даже суммы их цифр оказались связаны хитрым образом:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Добавим, что среди натуральных чисел имеются и другие пары «перевёртышей» с подобным свойством: 103 — 301, 1102 — 2011, 11113 — 31111 и др. Чем объясняется подмеченная закономерность? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно понять, что особенного в записи указанных чисел, какие цифры и в каком количестве могут в ней присутствовать.

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (кроме первого, рис. 2). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 3), получим ещё два простых числа (17, 5).

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 4). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Другой пример — треугольник, полученный из исходного после добавления к нему шести простых палиндромов (рис. 5). Фигура сразу привлекает внимание своим изящным обрамлением из единиц. Её окаймляют два простых репьюнита одинаковой длины: 23 единицы составляют «основание» и ещё столько же — «боковые стороны» треугольника.

Ещё несколько фигур

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 6 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 7−9).

Теперь, вооружившись таблицей простых чисел, вы и сами сконструируете фигуры вроде предложенных нами.

А напоследок ещё одна диковинка — треугольник, буквально пронизанный вдоль и поперёк палиндромами (рис. 10). В нём 11 строк из простых чисел, а столбцы образованы репдиджитами. И главное: ограничивающий фигуру с боков палиндром 193111111323111111391 — число простое!

Комментарии к статье

*Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц.

Смотри вперёд, хоть пятишься назад!
Рачье кредо


Палиндромное дело в Пенькове

Читайте также:  Когда лучше покупать билет на поезд

Слова, фразы, числа и вообще любые последовательности символов, которые читаются одинаково слева направо и наоборот, называются палиндромами . Это слово составлено из двух греческий корней — palin (πάλινснова) и dromos (δρóμοςпуть, направление) и буквально значит бегущий назад.

Первые палиндромы и появились в Древней Греции, более двух тысяч лет тому назад. Ими украшали амфоры, чаши, вазы и другие предметы округлой формы. Такие палиндромные надписи можно было читать в обе стороны, поворачивая сосуд в руках.

А самый известный из древних палиндромов придумали римляне, которые упаковали его в словесный магический квадрат:

Sator
Arepo
Tenet
Opera
Rotas

Появление этого палиндрома датируется 79 годом нашей эры, а переводится он так: Сеятель Арепо держит колёса в деле.

Этот па линдром одинаково читается не только по горизонтали, но и по вертикали. Необыкновенные свойства квадратного палиндрома так поразили людей того времени, что они считали его магическим и наносили на стены жилищ и монастырей, писали на амулетах.

Много тысячелетий спустя он послужил образцом для самой популярной современной головоломки со словами — кроссворда.

Особенно популярны стали палиндромы в средние века, из коих и дошли до нас такие палиндромные фразы:

Signa, te signa, temere me tangis, et agnis Roma tibi subito montibus ibit amor.
(Говорят, что её произнес Сатана)

Otto tenet mappam, madidam mappam tenet Otto.
Отто держит карту, мокрый Отто держит карту.

В России палиндромы появились не ранее 17-го века, а палиндромные стихи тогда называли рачьими – по аналогии с ретроградными членистоногими.

В истории человечества мы легко отыщем примеры и несловесных палиндромов. Обратите внимание: они не всегда симметричные, но обязательно равносмыленные с обоих концов.

Российский герб Двуликий Янус


Сказочная зверушка Тяни-толкай

Впервые мы знакомимся с палиндромами в замечательной сказке Алексея Толстого Золотой ключик, или Приключения Буратино. Помните, как Мальвина диктует своему дубовому ученику Буратино предложение А роза упала на лапу Азора? Она называет эту фразу волшебной, потому что она читается точно так же и в обратную сторону. А придумал её русский поэт Афанасий Фет!


О-о-пс!

Другой известный исторический палиндром принадлежит перу Г. Державина:

Я иду с мечем судия .

В литературе вы найдёте множество примеров фраз-палиндромов (или — более патриотично – перевёртышей, перевертней), порой очень забавных и даже ненормативных.

Словарь русского языка Т.Ф.Ефремова даёт вот такое курьёзное толкование этому слову. ПЕРЕВЕРТЕНЬ — м. местн. Тот, кто изменил своим убеждениям.

Палиндромы можно найти во многих языках мира. Например, в английском :

CIVIC, RADAR, LEVEL, ROTOR, KAYAK, REVIVER, RACECAR, REDDER.

Но самым длинным английским словом-палиндромом считается TATTARRATTAT, которое зафиксировано в Оксфордском словаре. В книге рекордов Гиннесса приводятся и другие рекордсмены: DETARTRATED, ROTAVATOR (название фирмы), REDIVIDER, MALAYALAM (язык индийского племени малаяли).

Несколько слов-палиндромов из немецкого языка: nun, stets, neben, Elle, Ebbe, Ehe и Reliefpfeiler.

А самым длинным в мире палиндромом признано финское слово SAIPPUAKIVIKAUPPIAS (поставщик мыльного камня), которое используется и по сей день. Еще длиннее производные от него слова SAIPPUAKALASALAKAUPPIAS и SAIPPUAKUPPINIPPUKAUPPIAS.

Эстонское слово KUULILENNUTEETUNNELILUUK также претендует на этот титул, но в этом качестве нигде не отмечено.

В голландском издании книги Гиннесса присутствует слово KOORTSMEETSYSTEEMSTROOK (термометр).
Голландское же слово POTSTALMELKKOORTSPILSTAALPLAATSLIPSTROOKKLEMLATSTOP и того больше, но оно просто составлено из других слов и собственного значения не имеет.

Конечно, более интересны палиндромные фразы :

Was it a rat I saw?
A nut for a jar of tuna.
Ma is as selfless as i am.
Dammit, I’m mad!
Rats live on no evil star
.
Английский язык

ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ ΟΨΙΝ
Греческий язык

Ein Neger mit Gazelle zagt im Regen nie.
Ade, liebe Ella, red’ nie in der Allee bei Leda!
Grasmitte, da kniet ein Kadett im Sarg.

Немецкий язык

В них пунктуация и пробелы между словами не учитываются.

Может быть, вам попадались на глаза известные английские выражения-палиндромы:

Able was I ere I saw Elba Noting the first exile of Napoleon to Elba.
(Я был силён, пока не увидел Эльбу. Это, якобы, сетования Напо-леона.)

A man, a plan, a canal, Panama.
(Палиндром, составленный по горячим следам аферы с Панамским каналом)

Madam, I’m Adam или Madam in Eden, I’m Adam.
(Мадам, я – Адам. Райское первознакомство)

Нам, естественно, более интересны русские высказывания:

Водовозу — руку кукурузоводов.
Лезу на санузел.
Лису кум укусил.
Маловаты пока копыта волам.
Манит рак к картинам.
Нажал кабан на баклажан.
Ясли – скука. Шёл Алёша, куксился.
Фрау и леди сидели у арф.
(А. Ханмагомедов)

Очень известны палиндромы русского пианиста Владимира Владимировича Софрницкого (1901-1961):

Аргентина манит негра.
Не пошл Шопен.
А Лист — сила!
Хил, худ он, но дух лих.
Давид, иди в ад!
Он в аду давно.
Лёша на полке клопа нашёл.
Он пел о Киле великолепно.
Велика Анна аки лев.
Но невидим архангел, мороз узором лег на храм, и дивен он.
Велик Оборин, он и робок и Лев.

Читайте также:  Как отменить жалобу на спам в одноклассниках

Случаются палиндромные имена :

ADA, ANNA, BOB, EVE, HANNAH, OTTO, АННА, АЛЛА, НАТАН, ТИТ

А вот палиндромные имена-фамилии :

Лон Нол (1913–1985) — бывший премьер-министр Камбоджи.

Нисио Исин (Nisio Isin, NisiOisin, настоящее имя Nishio Ishin) – японский писатель и автор манга-книг.

Как мы видим, некоторые личности намеренно берут себе палиндромные псевдонимы. К Нисио Исину можно добавить актёра Роберта Требора (Robert Trebor), урождённого Роберта Шенкмана (Robert Schenkman). Другим такое богатство обеспечивают родители. Например, американскому филологу Revilo P. Oliver и американскому автору сам не знаю чего Mike Kim . Особенно этим похвальным качеством отличаются финские родители: Olavi Valo, Emma Lamme, Sanna Rannas, Anni Linna, Asko Oksa .

Stanley Yelnats – имя одного из героев рассказа Луиса Закара (Louis Sachar) Holes (1998), экранизированного в 2003 году.

Некоторые литературные деятели умудряются писать палиндромные стихи и рассказы . В этой связи хорошо известны два рассказа на английском языке — Dr Awkward & Olson in Oslo (Доктор Оквард и Олсон в Осло), который Л.Левин (Lawrence Levin) написал в 1986 году, состоит из 31 954 слов, и Veritas (1980), принадлежащий перу Дэвида Стивенса (David Stephens), — 58795 слов. На французском языке написан рассказ Grand Palindrome (1969), в котором 5556 букв. Есть и другие, менее «значительные» произведения в этом жанре.

В 1912 году Велимир Хлебников написал первое палиндромное стихотворение на русском языке, которое так и называется Перевертень:

Кони, топот, инок.
Но не речь, а чёрен он.
Идем, молод, долом меди.
Чин зван мечем навзничь.
Голод, чем меч долог?
Пал, а норов худ и дух ворона лап.
А что? Я лов? Воля отча!
Яд, яд, дядя!
Иди, иди!
Мороз в узел, лезу взором.
Солов зов, воз волос.
Колесо. Жалко поклаж. Оселок.
Сани, плот и воз, зов и толп и нас.
Горд дох, ход дрог.
И лежу. Ужели?
Зол, гол лог лоз.
И к вам и трем с Смерти-Мавки.

Отдали должное подобным стихотворениям В.Брюсов, И.Сельвинский, С.Кирсанов, А.Вознесенский.


Свинский палиндром


Липовый палиндром

Кто мешает тебе выдумать
порох непромокаемый?

Козьма Прутков

Говори прямо!
Кузьма Протков

П ридумывание палиндромных фраз и афоризмов – настоящее искусство, которое совершенно не поддаётся алгоритмизации, поэтому мы поставим перед собой чисто техническую задачу – отыскать слова, которые не изменяются при чтении наоборот. Их тоже называют палиндромами, и вы наверняка знаете немало таких слов. Например, РОТОР, ШАЛАШ, КАБАК. Чтобы найти все такие слова, достаточно внимательно просмотреть словарь русского языка, но мы делегируем это пагубное занятие компьютеру.

Программа Палиндромы быстро отыскивает в словаре все слова-палиндромы:


Все слова-палиндромы русского языка

Словарь (список слов) должен быть предварительно отфракционирован , то есть слова должны быть в нём расположены по длине (числу букв), начиная с двухбуквенных. К программе прилагается готовый словарь

Более сложная задача — так подобрать пары слов, чтобы они образовали палиндром. Например, пара палиндромоидов образует такую пару: ОСЕЛОК КОЛЕСО, ТЕЛЕКС — СКЕЛЕТ. Но на этом парные палиндромы не заканчиваются. Ниже, на рисунке вы можете видеть и более интересные парные палиндромы, найденные программой Палиндромы :


Все парные палиндромы русского языка

Скачать программу Палиндромы

Вы можете скачать программу Палиндромы и использовать её как помощника при составлении фраз или при игре в Карность.

Разновидность игры в палиндромы можно считать игру Палиндромоиды .

Палиндром, палиндромон (греч. palindromos – бегущий обратно),

слово, фраза или стих, которое могут читаться слева направо
и справа налево, давая одинаковый смысл,

например, заказ, довод, комок, потоп, шалаш , казак .

Фразы: "А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА")))

"НАЖАЛ КАБАН НА БАКЛАЖАН",
"ТЫ, САША, СЫТ",
"НА В ЛОБ, БОЛВАН"

"АРГЕНТИНА МАНИТ НЕГРА"
(Н. Булгаков)

"НО ТЫ ТОНКА, КАК НОТЫ ТОН",
"АДА ПСАРИ И РАСПАДА"
(Н. Лодыгин)17

"ДОРОГО НЕБО ДА НАДОБЕН ОГОРОД",
"ЛЕГ НА ХРАМ, И ДИВЕН И НЕВИДИМ, АРХАНГЕЛ"
(Д. Авалиани)

Еще примеры палиндромов:

Валерий Брюсов
"Голос луны"
(палиндром буквенный)

Я — око покоя,
Я — дали ладья,
И чуть узорю розу тучи,
Я, радугу лучу даря!
Я — алая,
Я — и лилия,
Веду, Сильвана, в лесу дев
Я, еле лелея
Небес эбен.

Не совы в осень
Туром орут —
Нов зимы дым и звон:
Там холм лохмат
В инее нив,
Тут
Мороз узором
Окно тонко
Лепил. И пел
У сел, в лесу.

Ссылка на основную публикацию
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Adblock detector