Цепь синусоидального тока с индуктивным элементом

Цепь синусоидального тока с индуктивным элементом

Если в цепь синусоидального тока включить катушку, с активным сопротивлением, которой можно пренебречь, то такую цепь можно рассматривать как цепь, обладающую только индуктивностью (рис.65). Синусоидальный ток, проходя через катушку, наводит в ней ЭДС самоиндукции, величина которой определяется выражением

3.22

Примем начальную фазу тока равной нулю, тогда

3. 23

При cos ЭДС самоиндукции будет иметь максимальное амплитудное значение

3. 24

Учитывая, что косинусоиду можно рассматривать как синусоиду с начальной фазой и принимая во внимание выражение 3. 24, получим

) 3. 25

Так как активное сопротивление равно нулю, то согласно второму закону Кирхгофа сумма напряжений на зажимах цепи ЭДС самоиндукции равно нулю

Отсюда 3. 26

Из выражения 3. 26 видно, что в цепи с индуктивностью напряжение опережает ток на 90°. Приложенное к цепи напряжение вызывает в ней такой ток, который при своем изменении в любой момент времени индуктирует ЭДС, равную по величине и противоположную по знаку приложенному напряжению. На рис. 66 показаны волновая и векторная диаграммы токов и напряжений в цепи с индуктивностью.

Максимальное значение приложенного напряжения соответствует моменту, когда

т.е.

3. 27

Разделив левую и правую части выражения 3. 27 на получим

откуда получим формулу

3. 28

Закона Ома для действующих значений тока и напряжения в цепи с индуктивностью.

Величина, стоящая в знаменателе, имеет характер в размерность сопротивления и называется индуктивным сопротивлением или реактивным сопротивлением индуктивности

3. 29

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте переменного тока и индуктивности цепи и характеризует влияние ЭДС самоиндукции на величину тока.

Для цепи с индуктивностью закон Ома справедлив только для амплитудных и действующих значений тока и напряжения. Для мгновенных значений в этом случаем закон Ома неприменим, так как

Мгновенное значение мощности в цепи с индуктивностью равно произведению мгновенных значений напряжения тока

3. 30

Следовательно, мгновенное значение мощности в цепи с индуктивностью измеряется по синусоидальному закону с двойной частотой. На рис. 67 представлен график изменения мощности за период. Из графика видно, что в течение первой четверти периода ток в цепи нарастает. При этом возрастает энергия магнитного поля, т.е. энергия поступает от генератора в катушку. Во вторую четверть периода ток в цепи уменьшается, уменьшается по величие и магнитное поле катушки.

При этом энергия магнитного поля превращается в электрическую и возвращается обратно в генератор. Аналогичные процессы происходят в течение второго полупериода.

Таким образом, энергия, полученная цепью за каждую половину периода равна нулю, следовательно, равна нулю и средняя мощность цепи

Читайте также:  Эл чайники стеклянные с терморегулятором

В цепи с индуктивностью происходит периодический обмен энергией между генератором и магнитным полем катушки без необратимого преобразования электрической энергии. Колебания энергии характеризуются реактивной мощностью, которая равна амплитудному значению мгновенной мощности

Реактивная мощность измеряется в вольтметрах реактивных(Вар).

Пример 16. Катушка с индуктивностью L=43,8 мГн включена в цепь синусоидального тока с напряжением U=220 В. Определить ток в цепи и реактивную мощность. Частота переменного тока f=400 Гц.

Обмотки электрических машин и аппаратов, а также индуктивные катушки, используемые в различных устройствах радиоэлектроники, характеризуются параметром индуктивность L. Любая катушка наряду с L обладает также определенным активным сопротивлением г.

Рассмотрим катушку с индуктивностью L, активным сопротивлением которой можно пренебречь (г = 0), т. е. идеальную катушку (рис. 2.11, а). Пусть через нее проходит синусоидальный ток

(2.34)

Этот ток вызывает в катушке э. д. с. самоиндукции

(2.35)

Из формулы (2.35) следует, что э. д. с. самоиндукции отстает по фазе от тока на угол(рис. 2.11, б). Еслито =ELm =Im ωL, а действующее значение э. д. с. самоиндукции

(2.36)

Напряжение на индуктивности

(2.37)

Сопоставляя уравнения (2.34) и (2.37), можно утверждать, что напря­жение на индуктивности изменяется, как и ток, по синусоидальному закону и что напряжение опережает ток на угол(рис. 2.11,6).

Еслитооткуда

(2.38)

Разделив правую и левую части (2.38) на получим закон Ома для цепи с индуктивностью

(2.39)

где— реактивное сопротивление индуктивности, или индуктивное сопротивление. Это сопротивление учитывает реакцию электрической цепи на изменение магнитного потока в индуктивности. Размерность

Видно, что индуктивное сопротивление пропорционально частоте.

Мгновенная мощность, выделяемая в индуктивном элементе,

(2.40)

откуда следует, что мгновенная мощность в цепи с индуктивностью изменяется, как и ток, синусоидально, причем с частотой в два раза большей, чем частота тока (рис. 2.11, б). Из рис. 2.11, б также видно, что за первую четверть периода, когда мощность положительна и ток возраста­ет от 0 до Im, электрическая энергия поступает из электрической сети в индуктивный элемент, где она затрачивается на создание магнитного поля, причем ее затраты максимальны к концу первой четверти периода т. е. когда ток станет максимальным. Во вторую четверть периода ток убывает отIm до нуля, напряжение и мощность отрицательны, а энергия магнитного поля, накопленная в индуктивном элементе, полностью выделяется в электрическую сеть. Во втором полупериоде картина повторяется. Следовательно, среднее значение мощности (активная мощность) цепи с идеальной катушкой за период равна нулю:

Читайте также:  Как сделать общий сброс на планшете

Итак, в цепи с индуктивным элементом непрерывно происходит обмен энергией между сетью (источником) и магнитным полем индуктивного элемента. Этот процесс протекает без потерь энергии на нагревание проводников электрической цепи, т. е. в цепи идет незатухающий коле­бательный процесс обмена энергией. Амплитуду колебания мощности в цепи с идеальной катушкой принято называть реактивной индуктив­ной мощностью:

Согласно (2.34) и (2.37), комплексные амплитуды тока и напряжения

Действующие комплексы тока и напряжения

(2.41)

На рис. 2.11, в представлено векторное изображение комплексных ве­личиндля ψi = 0. Из уравнения (2.41) получаем закон Ома в комплексной форме для цепи с индуктивным элементом:

(2.42)

где jXL = jωL — комплекс индуктивного сопротивления.

Пример 2.1. Дано комплексное действующее значение тока I = — 4 –j3. Найти параметры синусоидальной функции времени — мгновенного значения тока, соответствующего заданному комплексному числу.

Решение. Действующее значение тока

начальная фаза тока

Искомое мгновенное значение тока

Угловая частота ω предполагается известной.

Пример 2.2. Заданы параметры синусоидального тока: амплитуда I = 56,5 А, начальная фаза ψi = —30°, угловая частота ω = 314 рад/с. Требуется записать мгновенное значение тока, рассчитать его комплекс­ное действующее значение в трех формах.

Пример 2.3. Задано комплексное напряжение U = — 400+j300; ча­стота f = 50 Гц. Требуется найти, мгновенное значение напряжения u.

Решениe. Комплексное напряжение U из алгебраической формы

переведем в показательную

По известному действующему значению напряжения определим его амплитуду

Пример 2.4. В схеме рис. а) заданы э. д. с. е = 141 sin ωt в и параметры схемы: R1 = 3 Oм; R2= 2 Oм; L = 0,00955 Гн. Угловая частота  = 314 с -1 . Определить ток и напряжение на элементах цепи.

Рисунок к примеру 2.4.

Решение. Запишем уравнение для мгновенных значений

Перейдем от него к уравнению в комплексах

Комплекс действующего значения э. д. с.

Напряжения на сопротивлении R1

на сопротивлении R2

Рисунок к примеру 2.4.

Векторная диаграмма изображена на рис. б). Вектор E направлен по оси +1. Ток отстает от него на 31°.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь. Пусть ток в цепи с индуктивностью L(рис. 4,а) изменяется синусоидально:

Этот ток создает в катушке синусоидально изменяющийся магнитный поток, который наводит в ней ЭДС самоиндукции:

Напряжение источника u =uLуравновешивается ЭДС самоиндукцииeL:

Выполнив дифференцирование, получим

Произведение Lимеет размерность сопротивления, его обозначаютXLи называют индуктивным сопротивлением катушки.

Сравнивая выражения для тока iL и напряженияuL,можно сделать вывод, чтона индуктивном элементе напряжение опережает по фазе ток на угол /2. Для цепи с индуктивностью закон Ома в комплексной форме записывается так:

Читайте также:  Официальный сайт leeco le 2 в россии

.

Учитывая фазовый сдвиг (=/2), для мгновенной мощности индуктивного элементаpLполучим:

Мгновенная мощность pLимеет только переменную составляющую,частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока) и представляет собой скорость прироста энергии магнитного поля индуктивности. За первую четверть периода тока, когдаuL иiL положительны, мгновенная мощностьpL 0. Это означает, что энергия поступает от источника и идет на увеличение энергии магнитного поля в индуктивной катушке (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 4,в). Во вторую четверть периода, когда токiLуменьшается от максимального значения до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику, при этом мгновенная мощность индуктивного элемента отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “” на рис. 4,в.). Далее все повторяется. Следовательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от источника, то отдается ему обратно.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью (рис. 4, а) изображена на рис. 4,б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на рис. 4,в.

Емкостный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим цепь, содержащую конденсатор, емкость которого С. Если к емкостному элементу (рис. 5,а) приложено синусоидальное напряжениеuc=Umsint, то ток зарядки-разрядки емкости

Таким образом, на емкостном элементе напряжение отстает по фазе от тока на угол /2.

Множитель Cимеет размерность проводимости (Cм). Величину, обратнуюC, обозначаютXСи называют емкостным сопротивлениемXС= 1 /C= 1 / 2.

Закон Ома в комплексной форме для цепи с емкостным элементом записывается так:

.

Мгновенная мощность емкости pСпредставляет собой скорость изменения энергии электрического поля и определяется следующим образом (с учетом сдвига фаз):

Мгновенная мощность pСимеет только переменную составляющую, частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока). За первую четверть периода напряжения конденсатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание в нем электрического поля и увеличение энергии поля (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 5,в). Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимального до нуля и запасенная в электрическом поле энергия отдается источнику. Мгновенная мощность отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “–” на рис. 5,в.).

Векторная диаграмма цепи с емкостью (рис. 5, а) приведена на рис. 5,б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности—на рис. 5,в.

Рис. 5

Ссылка на основную публикацию
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Adblock detector