Целые и дробные числа это

Целые и дробные числа это

Целые числа

Целые числа — расширение множества натуральных чисел, получаемое добавлением к какому-либо натуральному числу нуля и отрицательных чисел.

Свойства целых чисел

Любые числа, в том числе и целые, обладают рядом характерных им свойств. Некоторые из них перечисленны ниже. Этими свойствами Вы, наверняка, пользовались во время учебного процесса, они же могут помочь Вам и в некоторых случаях на ЕГЭ, так что стоит их повторить.

С целыми числами всё понятно. Ими мы пользуемся в повседневной жизни с тех пор, как научились считать. Вот с дробными числами все будет немного сложнее.

Дробные числа


Обыкновенная (или простая) дробь – рациональное число вида m/n, где m и n – целые числа. Число m называется числителем этой дроби, а число n – её знаменателем.

Все дроби можно разделить на три вида:

1) Обыкновенные дроби

Например:

Иногда горизонтальная черта заменяется на наклонную или на двоеточие:
1/2 , 3/4 , 19/5 или 32:2 , 10:100 , 4:1

Если возможно разделить на цело, то это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

А что уж говорить про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби.

2) Десятичные дроби

Десятичные дроби записываются через запятую после целой части числа:

0,1; 0,25; 5,68 и т.д.

Кстати, стоит запомнить, что ответы на задания части В всегда записываются именно в десятичном виде, так что будьте внимательны.

3) Смешанные числа


Обязательно надо уметь переводить Смешанные числа в обыкновенные или десятичные дроби. Все ответы на задания части В записываются только целыми числами и десятичными дробями, а вычисления на черновике удобние производить все таки в обыкновенных дробях, чем в смешанных числах. Но это не значит, что смешанные числа бесполезны, ими также пользуются во время учебного процесса в школе.

Свойство дробей

Основное свойство дробей очень важно при работе с дробными числами. Оно заключается в следующем:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и тоже число, то дробь от этого не изменится!

Например:

На практике это достаточно не сложно:

Сложение и вычитание дробей

Самое легкое, что только можно придумать, это сложение и вычитание дробей с одинаковым знамениателем. На этом сильно остонавливаться не буду. Главное запомнить одну очень простую схему:

Если у дробей разные знаменители, то отчаиваться не стоит. Воспользуемся основным свойством дробей и приведем их к общему знаменателю:

Умножение и деление дробей

Для того чтобы делить и умножать дроби, достаточно знать таблицу умножения и эти две простые схемы:

То есть при умножении дробей, мы перемножаем между собой числители и знаменатели обеих дробей, а при делении, дробь, на которую делим (делитель), переворачиваем "вверх тормашками" и умножаем её на дробь, которую делим (делимое).

Ну что же, по дробям это пожалуй все. Можно переходить к следующему разделу.

Виды чисел

Числа исследовали еще в Древней Греции. Любая цивилизация нуждается в методе ведения расчетов. Считаются деньги, товары и земли. Как только возникает необходимость в более сложной системе исчисления, человечество придумывает новое число.

Читайте также:  Чем отличаются мониторные наушники от накладных

Именно поэтому сегодня существует так много различных видов чисел:

  • Натуральные числа. Это первые числа, придуманные человеком. Как только ребенок начинает считать пальцы у себя на руках, он уже использует натуральные числа. К этому виду относят все положительные целые числа от 1 до бесконечности.
  • Целые числа. Сюда относят все отрицательные и положительные целые числа, а так же ноль. Это значит, что к целым числам относят все целые значения.
  • Рациональные числа. Это все значения, кроме значений со знаком корня. Отдельно отметим, что рациональные числа включают в себя целые числа, а целые числа включают в себя натуральные.
  • Иррациональные числа. Этот вид чисел стоит отдельно от рациональных значений. Сюда относятся все корни, которые невозможно вычислить
  • Комплексные числа это еще одно большое множество чисел, которое проходят в высшей математике, поэтому подробно о нем в школьном курсе математике не говорят.

Сразу после изобретения счета понятие нуля не было известно. Позднее в Европе о существовании этой цифры узнали из переводов индийских текстов 9 века нашей эры.

Виды дробей

Дробью называют число, обозначающее деление целого на малые части. В знаменателе записывают количество частей, на которое разделили единицу, в числителе – количество таких частей, которые приняты для расчета. Рассмотрим существующие виды дробей:

  • Обыкновенная дробь. Это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Такую дробь так же называют правильной.
  • Неправильная дробь. У этой дроби числитель больше знаменателя. Если результатом решения является неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанное число.
  • Смешанное число или смешанная дробь. Это число, которое имеет две части целую и дробную. Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют к ней числитель. Получившееся число будет числителем неправильной дроби. Знаменатель дроби сохраняется.
  • Десятичная дробь. Это смешанные и обыкновенные дроби, которые записываются без знаменателя. На знаменатель дроби указывает количество знаков после запятой, которое равняется степени числа 10. Это значит, что у дроби 0,01 знаменателем будет являться число 100 – вторая степень 10, так как в дроби 2 знака после запятой.

Понятия дробное число и дробь обозначают одно и то же.

Основное свойство дроби

Основное свойство дробей используется при преобразовании и сокращении дробей. Формулировка звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

Что мы узнали?

Мы поговорили о видах чисел. Узнали, к какому виду относят дробные числа. Отдельно обсудили виды дробей. Сказали, что дробное число и дробь – это понятия, которые обозначают одно и то же. Сформулировали основное свойство дробных чисел.

Помимо натуральных чисел существуют еще дробные числа. Дробные числа, или дроби, получаются в результате деления натуральных чисел на равные части: на две, три, пять и т.д. частей.

Люди практически каждый день делят целое на части, которые называют еще долями. Чаще всего используется половина — полдня, полчаса, полкило и т.д.

Читайте также:  Как установить windows на raid

Но используется и деление на другое количество долей — треть, четверть, десятая, сотая. Доли образуются при делении одного предмета (буханки хлеба, листа бумаги) или единицы измерения (часа, килограмма) на равные части. Доля является каждой из равных частей единицы. Называется доля в зависимости от того, на какое количество равных частей делится единица. При делении на две части доля называется «половиной», на три — третью, на четыре — четвертью. При делении на $5$, на $6$, $7$ частей используют названия пятая, шестая, седьмая и т.д. Также используются названия вторая, третья, четвертая доля вместо половины, трети и четверти.

Для записи долей используется горизонтальная черточка, которую называют дробной чертой. Над дробной чертой ставится единица, а под ней записывается количество равных частей, на которые разделили единицу. Например, третья, двадцатая, семьдесят третья доля записывается: $frac<1><3>$, $frac<1><20>$, $frac<1><73>$, а читается одна третья, одна двадцатая, одна семьдесят третья. Если единицу разделили на $n$ равных частей, то записывается дробь $frac<1>$ и читается одна энная.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Доли используются в случаях, когда при измерении величин невозможно обойтись только целыми единицами. Например, невозможно целыми единицами (метрами) измерить рост человека.

Дроби

Дроби получаются из долей.

Например, три седьмых не является ни натуральным числом, ни долей единицы. Это сумма трех одинаковых долей. Числа, которые являются долями или их суммами, называют дробными числами. Для дробных чисел используется и название дроби.

Например, три седьмых — это дробь. Цифрами такая дробь запишется $frac<3><7>$. Дробь $frac<3><7>$ равна сумме трех одинаковых седьмых долей: $frac<3><7>=frac<1><7>+frac<1><7>+frac<1><7>$.

Для записи дробей используется дробная черта и два натуральные числа. Под дробной чертой записывается знаменатель дроби, который показывает, из каких долей состоит дробь. Над чертой записывается числитель дроби, который показывает, из суммы скольких долей состоит дробь.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Чаще всего используется десятичная нумерация. Название нумерации произошло от следующего правила: единица каждого разряда в $10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разряд единиц является самым младшим в записи натуральных чисел. Единица предыдущего младшего разряда должна быть в $10$ раз меньше единицы каждого разряда.

Разряд десятых долей размещается правее разряда единиц и отделяется от разряда единиц запятой. Например, число $13frac<4><10>$ можно записать так: $13,4$, а число $2frac<8><10>$ запишется $2,8$.

Разряды справа от запятой могут продолжаться и для них действует правило: каждая единица разряда в $10$ раз меньше единицы предыдущего разряда: $frac<1><10>$, $frac<1><100>$, $frac<1><1000>$ и т.д.

$1$-й разряд после запятой называется десятыми долями, $2$-й разряд после запятой — сотыми доли, $3$-й разряд после запятой — тысячными долями.

Записанная с помощью цифр и запятой дробь называется десятичной дробью, а записанная с помощью дробной черты дробь называется обыкновенной дробью.

Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, $214,5793=200+10+4+frac<5><10>+frac<7><100>+frac<9><1000>+frac<3><10000>$.

В таблице записаны несколько первых разрядов после запятой и цифры, которые обозначают разрядные слагаемые числа $214,5793$.

Читайте также:  Не удалось выплатить попробуйте позже

Для записи обыкновенной дроби в виде десятичной нужно числитель разделить на знаменатель.

История

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем создана в Индии.

Индийцы использовали обыкновенные дроби. Обозначение обыкновенных дробей с помощью числителя и знаменателя принято в Индии еще в $VIII$ веке до н.э., но без дробной черты. Различие было в том, что знаменатель записывался сверху, а числитель — снизу. Современная запись дробей стала использоваться уже арабами.

В Вавилоне использовали шестидесятеричные дроби. Знаменателями дробей были числа $60, 602, 603$ и т.д. Но не все можно было точно выразить через шестидесятеричные. Например, дробь $frac<1><7>$ можно было выразить только приближенно.

Шестидесятеричные дроби использовали греческие и арабские математики и астрономы. Но с натуральными числами, которые записывались в десятичной и шестидесятеричной систем было неудобно работать, тем более сложно было работать с обыкновенными дробями. Тогда голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их запись была очень сложной, но впоследствии стала использоваться современная запись. Сегодня в компьютерной технике используются двоичные дроби, которые ранее применялись на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т.д.

В Древнем Риме использовали двенадцатеричную систему дробей. Медная монета, а позднее единица веса — $acc$ — делилась на $12$ равных частей — унций. Одна двенадцатая доля асса называется унцией. Путь, время и другие величины сравнивали с весом. Например, римляне говорили, что прошли $7$ унций пути или прочли $5$ унций книги, что означало $frac<7><12>$ пройденного пути и $frac<5><12>$ прочтенной книги.

Существовало и более мелкое дробление, чем на $12$ равных частей. Например, слово «скрупулезно» происходит от римского названия $frac<1><288>$ асса — скрупулус. Использовались также названия «семис»— половина асса, «секстанс»— шестая часть, «семиунция»— полунции ($frac<1><24>$ асса) и т.д. Всего использовалось $18$ различных названий дробей. При работе с дробями нужно было помнить таблицу их сложения и таблицу их умножения. Например, римские купцы твердо помнили, что при сложении триенса ($frac<1><3>$ асса) и секстанса получится семис, а при умножении беса ($frac<2><3>$ асса) на сескунцию($frac<3><2>$ унции или $frac<1><8>$ асса) получится унция. Для облегчения расчетов составляли специальные таблицы, некоторые из которых дошли до наших времен.

В двенадцатеричной системе не было дробей со знаменателями $10$ или $100$, поэтому римлянам было трудно делить на $10, 100$ и т. д. При делении $1001$ асса на $100$ один римский математик сначала получил $10$ ассов, потом раздробил асс на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не «лихва составит $16$ сотых суммы долга», а «на каждые $100$ сестерциев долга заплатишь $16$ сестерциев лихвы». Так как слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», то сотая часть стала называться процентом.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Ссылка на основную публикацию
Фотографии купе в поезде
Интересный фотоотчет о поездке на одном из первых рейсов двухэтажных поездов. Смотрим далее, как все устроено внутри таких двухэтажных вагонов...
Уравнение окружности в полярных координатах
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что...
Уравнение пучка прямых проходящих через точку
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Если и - уравнения двух пересекающихся...
Фотография с самым большим разрешением в мире
Представляем вашему вниманию нашу подборку самых больших фотографий в мире. Для их просмотра вам будет необходим FlashPlayer. Его можно скачать...
Adblock detector